Question

CMR với mọi x;y;z dương và x+y+z=1 thì:

\(xy+yz+zx>\frac{18xyz}{2+xyz}\)

Answer 1

Hoàng Đức Khải lớp 8 mà

Answer 2

Ta có: \(xy+yz+zx>\frac{18xyz}{2+xyz}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\)Vì \(x;y;z>0\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwazt,ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}=9=\frac{18}{2}\)

Mà \(x;y;z>0\Rightarrow\frac{18}{2}>\frac{18}{2+xyz}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>\frac{18}{2+xyz}\Leftrightarrow xy+yz+zx>\frac{18yz}{2+xyz}\left(đpcm\right)\)