Ta có: x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1
= x(x3 + 6x2 + 11x + 6) + 1
= x(x3 + 3x2 + 3x2 + 9x + 2x + 6) + 1
= x[x2(x + 3) + 3x(x + 3) + 2(x + 3)] + 1
= x(x + 3)(x2 + 3x + 2) + 1
= (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) + 1
=> (x2 + 3x + 1 - 1)(x2 + 3x + 1 + 1) + 1
= (x2 + 3x + 1)2 - 1 + 1
= (x2 + 3x + 1)2
=> x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 là số chính phương
Giả sử pt có nghiệm thì nghiệm đó k phải là 0. Vì vậy ta có:
\(x^4+6x^3+11x^2+6x+1=x^2\left(x^2+6x+11+\frac{6}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=x^2\left[\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+11\right]\)
\(=x^2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+6\left(x+\frac{1}{x}\right)+9\right]\)
\(=x^2\left(x+\frac{1}{x}+3\right)^2=\left(x^2+3x+1\right)^2\) là scp
