\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}\)
+) Xét n = 3k ( k là số tự nhiên > 1)
\(\frac{4}{n}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}+\frac{3}{n}=\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k\left(3k+1\right)}+\frac{1}{k}\)
+) Xét n = 3k + 1:
\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n}+3.\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n\left(n-1\right)}\right)=\frac{1}{n}+\frac{3}{n-1}-\frac{3}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{3k+1}+\frac{3}{3k}+\frac{-3}{3k\left(3k+1\right)}=\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{k}+\frac{1}{-k\left(3k+1\right)}\)
+) Xét n = 3k + 2:
\(\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{3}{n}=\frac{1}{n}+3.\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{n}+\frac{3}{n+1}+\frac{3}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{\left(3k+2\right).\left(k+1\right)}\)
Vậy Với mọi n > 4 thì 4/ n đều phân tích thành tổng của 3 phân số khác nhau có dạng 1/n
=> đpcm
