ta thấy \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)nên \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)>\(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)=\(\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)
với mọi k thuộc N ta luôn có
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)=\(\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-k+1}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)
áp dụng tính chất này ta có
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)<2(\(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\)+...+\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\))=\(2\left(\sqrt{n}-\sqrt{0}\right)=2\sqrt{n}\)
