Question

CMR: Với mọi n thuộc N* thì:

\(1< \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{5}{3}\)

Answer 1

Tham khảo nè:

1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ... + 1/n^2 < 2/3 chứng minh

 k² > k² - 1 = (k-1)(k+1) 
⇒ 1/k² < 1/[(k-1).(k+1)] = [1/(k-1) - 1/(k+1)]/2 (*) 

Áp dụng (*), ta có: 
1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n² 
< 1/2² + 1/(2.4) + 1/(3.5) + ... + 1/[(n-1).(n+1)] 
= 1/2² + [1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/5 + ... + 1/(n-1) - 1/(n+1)]/2 
= 1/2² + [1/2 + 1/3 - 1/n - 1/(n+1)]/2 
= 2/3 - [1/n + 1/(n+1)]/2 < 2/3