Question

CMR; Với mọi k cho trước , không tồn tại sô nguyên dương x saocho x(x+1)=k(k+2)

Answer 1

Ta có:\(x\left(x+1\right)=k\left(k+2\right)\)

\(\Rightarrow x^2+x=k^2+2k\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=k^2+2k+1\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=\left(k+1\right)^2\)

Lại có:

\(x^2+x+1< x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\left(1\right)\) vì \(x\in Z^+\)

\(x^2+x>x^2\left(2\right)\)vì \(x\in Z^+\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x^2< x^2+x+1< \left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2< \left(k+1\right)^2< \left(x+1\right)^2\)

Do \(\left(k+1\right)^2\) là số chính phương bị kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp nên không tồn tại k;x thỏa mãn đề bài