Đặt ƯCLN ( 4n + 1 ; 3n + 1 ) = d
=> \(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}3.\left(4n+1\right)⋮d\\4.\left(3n+1\right)⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+4⋮d\end{cases}}\)=> ( 12n + 4 ) - ( 12n + 3 ) \(⋮\)d
=> 1 \(⋮\)d => d thuộc Ư ( 1 ) = { 1 }
Vậy ƯCLN ( 4n + 1 , 3n + 1 ) = 1 ( dpcm )
Gọi d là ƯCLN (4n + 1, 3n + 1), d ∈ N*
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\4\left(3n+1\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+4⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(4n+1,3n+1\right)=1\:\)
Vậy 4n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.
