Tổng 20 số chính phương liên tiếp có dạng:
\(A=n^2+\left(n+1\right)^2+\left(n+2\right)^2+...+\left(n+19\right)^2.\)
\(A=20n^2+2\cdot\left(1+2+3+...+19\right)n+1^2+2^2+3^3+...+19^2.\)
\(A=20n^2+2\cdot\frac{19\cdot20}{2}n+\frac{19\cdot\left(19+1\right)\left(2\cdot19+1\right)}{6}\)
\(A=20n^2+19\cdot20\cdot n+19\cdot13\cdot10\)
Dễ thấy A chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên A không phải là số chính phương.
20 số nguyên liên tiếp có 6 số chia hết cho 3
=> tổng 20 số chính phương liên tiếp có 6 số chia hết cho 3 và 14 số chia 3 dư 1
=> tổng 20 số chính phương liên tiếp chia 3 dư 2
dãy từ 0 đến 19 có 7 số chia hết cho 3
20 số nguyên liên tiếp có 7 só chia hết cho 3
=> tổng 20 số chính phương liên tiếp có 7 số chia hết cho 3 và 13 số chia cho 3 dư 1
=> tổng 20 số chính phương liên tiếp chia 3 dư 1
Tổng của 4 số chính phương liên tiếp là số chia 4 dư 2 nên có dạng 4k + 2
Nhóm tổng của 20 số chính phương liên tiếp thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 4 số chính phương có dạng:
( 4k1 + 2) + ( 4k2 + 2) + ( 4k3 + 2) + ( 4k5+ 2)
= 4k1 + 4k2 + 4k3 + 4k4 + 4k5 + 10
= 4 ( k1 + k2 + k3 + k4 + k5 + 2) + 2
Đặt k = ( k1 + k2 + k3 + k4 + k5 + 2)
Suy ra: 4k + 2 chia 4 dư 2 mà số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1
Vậy tổng 20 số chính phương liên tiếp không thể là số chính phương
