Ta có thể xây dựng cách phân tích thừa số đơn giản như sau: \(4018=2.2009\)
Từ đó, dễ dàng thành lập được một biểu thức số có dạng \(P=20092009...200940184018...4018\) luôn chia hết cho \(2009\) \(\text{(}\) với \(x\) là số các số \(2009,\) \(y\) là số các số \(4018\) \(\text{)}\)
Khi đó, tổng các chữ số cần tìm của \(P\) là \(\left(2+0+0+9\right).x+\left(4+0+1+8\right).y=11x+13y\)
Mặt khác, do \(P\) có tổng chữ số là \(2010\) hay nói cách khác \(11x+13y=2010\) \(\left(\alpha\right)\)
Ta phải cần tìm \(x,y\in Z^+\) để thỏa mãn điều kiện phương trình \(\left(\alpha\right)\) có nghiệm
Thật vậy, nhận thấy \(x=y=0\) không là nghiệm của phương trình \(\left(\alpha\right)\)
Do đó, từ \(\left(\alpha\right),\)suy ra \(x=\frac{2010-13y}{11}=183-y-\frac{2y+3}{11}\)
Để \(x\in N\) thì \(\frac{2y+3}{11}\in N\) tức là \(2y+3\inƯ\left(11\right)=\left\{-11;-1;1;11\right\}\)
Với chú ý rằng \(2y+3>3\) (do \(y>0\) ), kết hợp với điều ở trên, ta suy ra được \(2y+3=11\)
Hay \(y=8\) \(\left(\beta\right)\)
Từ \(\left(\alpha\right),\) \(\left(\beta\right)\) dễ dàng tính được \(x=178\) \(\left(\text{ t/m ĐK}\right)\)
Vậy, với \(P=20092009...200940184018...4018\) \(\text{(}\) trong đó, có \(178\) số \(2009,\) \(8\) số \(4018\) \(\text{)}\) thì thỏa mãn yêu cầu đề bài đã cho, nghĩa là có ít nhất một số tự nhiên tồn tại chia hết cho \(2009\) với tổng các chữ số là \(2010\)
CMR tồn tại 1 số tự nhiên chia hết cho 2009 có tổng các chữ số là 2010 2009
