\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< cb\) (1)
Ta quy đồng hai PS a/b và a+c/b+d để so sánh:
\(\frac{a}{b}...\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+d\right)....b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ad.....ab+cb\)
\(\Leftrightarrow ad....cb\)
Vì (1) => \(ad< cb\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(2\right)\)
Quy đồng PS a+c/b+d và c/d để so sánh ta được:
\(\frac{a+c}{b+d}....\frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)d....\left(b+d\right)c\)
\(\Leftrightarrow ad+cd....+bc+cd\)
\(\Leftrightarrow ad...bc\)
Vì (1)
\(\Rightarrow ad< bc\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(3\right)\)
Từ (2) và (3) => \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< cb\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{d+b}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< cb\)
\(\Rightarrow ad+cd< cb+cd\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
