Gọi d=(a;c) (d\(\in\)N*)
\(\Rightarrow a=dm,c=dn\)(m;n\(\in\)N*; (m;n)=1)
Vì (m;n)=1 nên (m;n2)=1 (tự chứng minh)
Do a\(⋮\)d (vì a=dm) mà (a;b)=1 \(\Rightarrow\)(b;d)=1 (tự chứng minh)
Ta có a.b=c2
\(\Rightarrow\)dm.b=(dn)2
\(\Rightarrow\)dm.b=d2.n2
\(\Rightarrow\)m.b=d.n2 (*)
\(\Rightarrow\)m.b\(⋮\)n2
\(\Rightarrow\)b\(⋮\)n2 (1) (Vì (m;n2)=1)
Từ (*) suy ra: d.n2\(⋮\)b
\(\Rightarrow\)n2\(⋮\)b (2) (Vì (b;d)=1)
Từ (1) và (2) suy ra b=n2 (Vì b;n2\(\ge\)0)
\(\Rightarrow\)b là số chính phương (3)
Mà a.b=c2\(\Rightarrow\)a.n2=c2 \(\Rightarrow a=\left(\frac{c}{n}\right)^2\)
\(\Rightarrow a=d^2\)(vì c=dn)
\(\Rightarrow\)a là số chính phương (4)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm.
Ok nha, quay cuồng
