Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Fermat nhỏ và một số kiến thức về phép chia. Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh rằng (n^6 - n^4 - n^2 + 1) chia hết cho 2. Ta có thể viết lại biểu thức này thành: [n^6 - n^4 - n^2 + 1 = (n^6 - n^4) - (n^2 - 1) = n^4(n^2 - 1) - (n^2 - 1) = (n^4 - 1)(n^2 - 1).] Ta biết rằng nếu (n) là số lẻ, thì (n^2 - 1) là một số chẵn. Vì vậy, ((n^4 - 1)(n^2 - 1)) chia hết cho 2. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng (n^6 - n^4 - n^2 + 1) chia hết cho 32. Ta có thể viết lại biểu thức này thành: [n^6 - n^4 - n^2 + 1 = (n^6 - n^4) - (n^2 - 1) = n^4(n^2 - 1) - (n^2 - 1) = (n^4 - 1)(n^2 - 1).] Ta biết rằng nếu (n) là số lẻ, thì (n^2 - 1) là một số chẵn. Vì vậy, ((n^4 - 1)(n^2 - 1)) chia hết cho 32. Cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng (n^6 - n^4 - n^2 + 1) chia hết cho 64. Ta sẽ sử dụng Định lý Fermat nhỏ: nếu (p) là một số nguyên tố và (a) là số nguyên không chia hết cho (p), thì (a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}). Ở đây, chúng ta sẽ chứng minh rằng (n^6 - n^4 - n^2 + 1 \equiv 0 \pmod{64}) khi (n) là số lẻ. Chúng ta sẽ xét hai trường hợp: Trường hợp 1: (n \equiv 1 \pmod{4}). Khi đó, (n^2 \equiv 1 \pmod{4}) và (n^4 \equiv 1 \pmod{4}). Do đó, (n^6 - n^4 - n^2 + 1 \equiv 1 - 1 - 1 + 1 \equiv 0 \pmod{64}). Trường hợp 2: (n \equiv 3 \pmod{4}). Khi đó, (n^2 \equiv 1 \pmod{4}) và (n^4 \equiv 1 \pmod{4}). Do đó, (n^6 - n^4 - n^2 + 1 \equiv 1 - 1 - 1 + 1 \equiv 0 \pmod{64}). Vậy, ta có thể kết luận rằng (n^6 - n^4 - n^2 + 1) chia hết cho 128 khi (n) là số lẻ.
