Ta gọi 2 số TN lẻ liên tiếp là 2n+1 và 2n+2
và ƯCLN(2n+1; 2n+2) = d. Ta chứng minh d=1
=> 2n+1 chia hết cho d và 2n+3 chia hết cho d
=> ( 2n+3) - (2n+1) chia hết cho d
=> (3 - 1) - ( 2n - 2n) chia hết cho d
=> 2 chia hết cho d =>d thuộc Ư(2)= {1;2}
Mà ta đang chứng minh 2 số NTCN => d=1
=> ƯCLN( 2n+1; 2n+3) = 1
=> 2n+1 và 2n+3 là 2 số NTCN
Vậy 2 số TN lẻ liên tiếp là 2 số NTCN.
Gọi hai số đó là:2k+1 và 2k+3﴾k thuộc N﴿ và ƯCLN﴾2k+1,2k+3﴿=d
=>2k+1 chia hết cho d và 2k+3 chia hết cho d
=>﴾2k+1﴿‐﴾2k+3﴿ chia hết cho d
=>2 chia hết cho d
=>ƯCLN﴾2k+1,2k+3﴿ thuộc 1 hoặc 2 Mà 2k+1 và 2k+3 là số lẻ
=>ƯCLN﴾2k+1,2k+3﴿=1
=>2 số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
Gọi 2 số lẻ liên tiếp là \(2k+1,2k+3\left(k\inℤ\right)\)
Gọi \(UCLN\left(2k+1,2k+3\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow2k+1⋮d,2k+3⋮d\Rightarrow\left(2k+3\right)-\left(2k+1\right)⋮d\Leftrightarrow2⋮d\)
Lại có \(2k+1,2k+3\) lẻ suy ra d lẻ mà \(2⋮d,d\inℕ^∗\Rightarrow d=1\)
Từ đó suy ra \(UCLN\left(2k+1,2k+3\right)=1\) hay 2 số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau (đpcm)
Hai số nguyên tố cùng nhau có ƯCLN là 1
Bài giải
Gọi hai số lẻ liên tiếp là a và a + 2 (a \(\in\)N và a lẻ)
Gọi d là ƯCLN (a; a + 2)
Theo đề bài: a \(⋮\)d và a + 2 \(⋮\)d
Suy ra a + 2 - a = a - a + 2 = 2 \(⋮\)d
Suy ra d \(\in\)Ư (2)
Ư (2) = {1; 2}
Mà a lẻ và a + 2 lẻ
Nên a ko chia hết cho 2 và a + 2 ko chia hết cho 2
Suy ra d = 1
Vậy nên ƯCLN (a; a + 2) = d = 1
=> a và a + 2 nguyên tố cùng nhau
=> ĐPCM
