Question

CMR \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Cô si \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Ta có:\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)

        \(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b\)

        \(\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

Answer 2

Đề phải cho a,b,c dương

Xét : A = a^2/b+c + b+c/4

Áp dụng bđt cosi ta có :

A >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2.a/2 = a

Tương tự : b^2/c+a + c+a/4 >= b

c^2/a+b + a+b/4 >= c

<=> a^2/b+c + b^2/c+a + c^2/a+b + (b+c+a+c+a+b)/4 >= a+b+c

<=> a^2/b+c + b^2/c+a + c^2/a+b + a+b+c/2 >= a+b+c

<=> a^2/b+c + b^2/c+a + c^2/a+b >= 1/2.(a+b+c)

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Tk mk nha 

Answer 3

Bài này AD bất đẳng thức BCS ( Bunhiakovski - Cauchy - Schwars ) bạn nhé cố lên bạn ạ