Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d.
Ta có : \(2n+3⋮d\) <=> \(3\left(2n+3\right)=6n+9⋮d\)
và \(3n+5⋮d\) <=> \(2\left(3n+5\right)=6n+10⋮d\)
=> \(6n+10-\left(6n+9\right)⋮d\)<=> \(1⋮d\)
Mà d nguyên nên d=1 => P/s tối giản
Giả sử d là ƯCLN(2n+3,3n+5)\(\left(d\inℕ^∗\right)\)
Khi đó: \(\hept{\begin{cases}\left(2n+3\right)⋮d\\\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\left(6n+9\right)⋮d\\\left(6n+10\right)⋮d\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\left[\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)\right]⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2n+3}{3n+5}\)là phân số tối giản (đpcm)
Gọi ƯCLN của tử và mẫu là :d
Ta có:\(2n+3⋮d\Leftrightarrow3.\left(2n+3\right)=6n+9⋮d\)
Và\(3n+5⋮d\Leftrightarrow2.\left(3n+5\right)=6n+10⋮d\)
\(\Rightarrow6n+10-\left(6n+9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\)gia
Mà d nguyên nên d là:1=> phân số tối giản
Gọi d=ƯCLN(2n+3;3n+5)
Suy ra 2n+3chia hết cho d
3n+5------------------d
Từ 3n+5chia hết cho d suy ra 2(3n+5)chia hết cho d
2n+3-----------------------------3(2n+3)-------------------
Suy ra 6n+10-6n-9chia hết cho d
---------10-9 -------------------
----------1 -------------------
Vậy 2n+3
3n+5 tối giản
