Gọi A là tổng trên, ta có:
\(\Rightarrow A=\frac{2-1}{2\text{!}}+\frac{3-1}{3\text{!}}+...+\frac{100-1}{100\text{!}}\)
\(A=\frac{2}{2\text{!}}-\frac{1}{2\text{!}}+\frac{3}{3\text{!}}-\frac{1}{3\text{!}}+...+\frac{100}{100\text{!}}-\frac{1}{100\text{!}}\)
\(A=1-\frac{1}{2\text{!}}+\frac{1}{2\text{!}}-\frac{1}{3\text{!}}+\frac{1}{3\text{!}}-...-\frac{1}{100\text{!}}\)
\(A=1-\frac{1}{100\text{!}}< 1\RightarrowĐPCM\)
đặt \(A=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{99}{100!}\)
\(A=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{100-1}{100!}\)
\(A=\frac{2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{100}{100!}-\frac{1}{100!}\)
\(A=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
\(A=1-\frac{1}{100!}< 1\)
\(\frac{1}{1!2}+\frac{2}{2!3}+\frac{3}{3!4}+\frac{4}{4!5}+.....+\frac{9}{99!100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{24}+\frac{1}{24}-\frac{1}{120}+........+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
\(=1-\frac{1}{100!}< 1\left(dpcm\right)\)
