Chọn dãy
1; 11; 111; ... ;111...1 (số cuối có 20 c/s 1)
Chắc chắn trong dãy có 2 số có cùng số dư khi chia cho 19
2 số đó là
111..1(a c/s 1); 11..1(b c/s 1) [1< a < b < 20]
=>111..1 - 11..1 chia hết cho 19 [b c/s 1 - a c/s 1]
=>111...100...0 chia hết cho 19 [b - a c/s 1 ; a c/s 0]
=>11..1 x 10a chia hết cho 19 [b-a c/s 1]
Mà (19;10)=1 =>(19;10a)=1
=> 111..1 chia hết cho 19 với b-a c/s 1
Câu 3
Giả Sử: k = 4n
=>194n - 1 = (...1) - 1 = (...0) chia hết cho 10
Vậy có thể tìm đc 1 STN k chia hết cho 10
xét dãy : 191,192,...,1911
các số tự nhiên khi chia cho 10 có 10 ước là: 0,1,2,..,9
Mà dãy số trên có 11 số nên tồn tại ít nhất 2 số tn có cùng số dư khi chia cho 10
gọi 2 số đó là: 19m và 19n
(11>m>n>1 m,n=1)
19m-19n chia hết cho 10
19n.(19m-n -1) chia hết cho 10
mà (10,19)=1 (19n,10)=1
19m-n-1 chia hết cho 10
19k-1 chia hết cho 10 (k=m-n)
19k-1 chia hết cho 10q
vậy tồn tại 1 số tn k sao cho 19k-1 chia hết cho 10