Question

CMR:  a⁵ - a chia hết cho 30 với mọi a thuộc Z

Answer 1

a⁵ - n = a(a⁴ - 1 )= a(a - 1)(a + 1)(a² +1) 
Xét a(a-1)là 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

(n+1)n(n-1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 
Mà (2;3) = 1 => chia hết cho 6 
Lại xét :
a = 5k => tích trên chia hết cho 5 
a = 5k+1 => a - 1 = 5k chia hết cho 5 
a = 5k+2 => a² + 1 = (5k + 2)² + 1 = 25k² + 5 chia hết cho 5 
a = 5k+3 => a² + 1 = (5k + 3)² + 1 = 25k² + 10 chia hết cho 5 
a = 5k+4 => a + 1 = 5k + 5 chia hết cho 5 
Mà (6; 5) = 1.

Vậy a⁵ - a chia hết cho 30 với mọi a \(\in\) Z