Question

CMR: \(a^4+b^4+c^4\) ≥ abc(a + b + c)

Answer 1

áp dụng BĐT co si cho 4 số ta có

\(a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc\)

\(b^4+b^4+a^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.c^4}=4ab^2c\)

\(c^4+c^4+b^4+a^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.c^4}=4abc^2\)

Cộng vế với vế ta có

\(\)4a⁴+4b⁴+4c⁴ ≥ 4a²bc+4ab²c+4abc²

chia cả 2 vế cho 4 ta có

a⁴+b⁴+c4 ≥ a²bc+ab²c +abc²

⇔ a⁴+b⁴+c⁴ ≥ abc(a+b+c) (đpcm)

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+a^2b^2+b^2c^2\)

mà: \(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2=abc\left(a+b+c\right)\) \(\Leftrightarrowđpcm\)