Question

CMR: A= n³(n²-7)² - 36n chia hết cho 5040 với mọi n

Answer 1

Ta có: \(5040=16.9.5.7\)

\(A=\text{ }n^3\left(n^2-7\right)^2-36n=\left(n-3\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)\)

Chứng minh chia hết cho 2⁴

Đây là 7 số nguyên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 3 số chẵn liên tiếp mà trong 3 số chẵn liên tiếp sẽ có 2 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 nên A chia hết cho 16

Chứng minh chia hết cho 9

Cứ 3 số liên tiếp thì chia hết cho 3 mà trong này ta có 2 bộ số như vậy nên chia hết cho 9

Chứng minh chia hết cho 5

Trong 5 số liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5

Chứng minh chia hết cho 7

Trong 7 số liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 7 nên A chia hết cho 7

Vì 16,9,5,7 là các số nguyên tố cũng nhau từng đôi 1 nên A chia hết cho 5040

Answer 2

A = n³(n² -7)² – 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n.
Hướng phân tích:
+ Trước hết cho hoc sinh nhận xét về các hạng tử của biểu thức A
+ Từ đó phân tích A thành nhân tử
Giải: Ta có
A =n[n²(n² -7)² -36]= n[(n³ -7n²)-36]
= n(n³ -7n² -6)( n³ -7n² +6)
Mà n³ -7n² -6 = (n+1) (n+2) (n-3)
n³ -7n² +6 = (n-1)(n-2)(n+3)
Do đó:
A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3)
Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp.Trong 7 số nguyên liên tiếp
+Tồn tại một  bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5
+Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7
+Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9
+Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho
5.7.9.16 =5040.(đpcm)