Question

cmr a :B = 10ⁿ+18n -1 chia hết cho 27

       b : nếu a +2b chia hết cho 5 khi và chỉ khi 3a - 4b chia hết cho 5

       c : nếu 3a - b +1 và 2a +3b - 1 đều chia hết cho 7 thì a,b chia 7 dư 3

Answer 1

a)Ta có: 10ⁿ + 18n - 1 = (10ⁿ- 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10ⁿ+ 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)