gọi 2 số lẻ đó là 2k+1 và 2k+3
gọi ước chung lớn nhất của 2 số lẻ đó là p
=>2k+1 chia hết cho p; 2k+3 chia hết cho p
=>2k+3-2k-1=2 chia hết cho p
=>p=1;2
trường hợp p=2 loại vì 2k+1 và 2k+3 lẻ
Gọi số lẻ thứ nhất là 2n + 1 => số lẻ thứ 2 là 2n + 3 ( với mọi n lớn hơn hoặc bằng d )
Gọi d là ƯC 2n+ 1 và 2n + 3
Hay d thuộc ƯC ( 2n+1 ; 2n+3 )
=> [ 2n + 1 - ( 2n + 3 )] chia hết cho d
=> [ 2n + 1 - 2n - 3 ] chia hết cho d
=> -2 chia hết cho d => d là Ư của 2 => d = { 1 ; 2 }
Vì 2n + 1 là số lẻ => 3n + 1 ko chia hết cho 2
2n + 3 là số lẻ => 2n + 3 ko chia hết cho 2
tổng hợp hai điều trên => d = 1
ƯC ( 2n+1;2n+3 ) = 1
=> 2n + 1 và 2n+ 3 nguyên tố cùng nhau
Vậy ...........................
Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n ∈ N)
Đặt d ∈ ƯC(2n + 1 ; 2n + 3) (d ∈ N*) => 2n + 1 chia hết cho d và 2n + 3 chia hết cho d.
Vậy (2n + 3) - (2n + 1) chia hết cho d <=> 2 chia hết => d ∈ Ư ( 2) <=> d ∈ ( 1,2 )
Nhưng d ≠ 2 vì d là ước của số lẻ . Vậy d = 1
Vậy hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
