Question

C/m: Tổng của 2 số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là 1 số chính phương lẻ

Answer 1

Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k^2 và (k+1)^2
Ta có:
k^2+(k+1)^2+k^2.(k+1)^2
=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2
=k^4+2k^3+3k^2+2k+1
=(k^2+k+1)^2
=[k(k+1)+1]^2 là số chính phương lẻ.

Answer 2

Vì là hai số chính phương liên tiếp 

nên ta đặt hai số đó là k² và (k+1)² ( k ∈ Z )

Theo đề bài ta có : k² + ( k + 1 )² + k²(k+1)²

= k² + k² + 2k + 1 + ( k² + k )²

= k⁴ + 2k³ + 3k² + 2k + 1

= ( k⁴ + k³ + k² ) + ( k³ + k² + k ) + ( k² + k + 1 )

= k²( k² + k + 1 ) + k( k² + k + 1 ) + ( k² + k + 1 )

= ( k² + k + 1 )² = [ k( k + 1 ) + 1 ]²

Vì k ; k+1 là hai số nguyên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2 

=> k( k + 1 ) chẵn => k( k + 1 ) + 1 lẻ

=> [ k( k + 1 ) + 1 ]² là một số chính phương lẻ (đpcm)