Giả sử \(n^2+2006\)là số chính phương
\(\Rightarrow n^2+2006=a^2\left(a\inℕ\right)\)\(\Leftrightarrow a^2-n^2=2006\)( áp dụng hằng đẳng thức \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\))
\(\Leftrightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2006\)
Xét hiệu: \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=a+n-a+n=2n\)
\(\Rightarrow\)\(a+n\)và \(a-n\)cùng chẵn hoặc lẻ
Nếu \(a+n\)và \(a-n\)cùng chẵn \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+n⋮2\\a-n⋮2\end{cases}}\Rightarrow\left(a+n\right)\left(a-n\right)⋮4\)
mà 2006 không chia hết cho 4 \(\Rightarrow\)vô lý
Nếu \(a+n\)và \(a-n\)cùng lẻ \(\Rightarrow\left(a+n\right)\left(a-n\right)\)là số lẻ
mà 2006 chẵn \(\Rightarrow\)vô lý
Vậy \(n^2+2006\)không là số chính phương
