Question

Chứnnh phân số sau không tối giản với mọi n thuộc N*

\(\frac{n^3-1}{n^5+n+1}\)

Answer 1

Đặt \(A=\frac{n^3-1}{n^5+n+1}\)

\(A=\frac{n^3-1^3}{n^5-n^2+n^2+n+1}\)

\(A=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{n^2\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)}\)

\(A=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)}\)

\(A=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n^2+n+1\right)\left[n^2\left(n-1\right)+1\right]}\)

\(A=\frac{\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)}{\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n^2+1\right)}\)

\(A=\frac{n-1}{n^3-n^2+1}\)

Dễ thấy n - 1 < n³ - 1; n³ - n² + 1 < n⁵ + n + 1

Mà \(\frac{n^3-1}{n^5+n+1}=\frac{n-1}{n^3-n^2+1}\)

=> A có thể rút gọn 

=> A chưa tối giản ( đpcm )