Question

chứng tỏ:\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>1\)với a,b,c thuộc N*

 

 

Answer 1

ta có:

\(\frac{a}{a+b}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\frac{b}{b+c}=\frac{b\left(a+b\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)

\(\frac{c}{c+a}=\frac{c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)

=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(b+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

dễ thấy phần tử của phép tính trên lớn hơn mẫu => phép tính trên cho kết quả lớn hơn 1

Answer 2

Ta thấy : a/(a+b) > a/(a+b+c) 

b/(b+c) > b/(a+b+c)

c/(c+a)>c/(a+b+c)

=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)> a/(a+b+c) +b/(a+b+c) +c/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c) = 1 (đpcm)