Question

chứng tỏ:

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng : ( p - 1 ) . ( p + 1 ) chia hết cho 24

Answer 1

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p là số lẻ

=>p=2k+1

Khi đó: (p-1).(p+1)=(2k+1-1).(2k+1+1)=2k.(2k+2)=2k.2.(k+1)=4.k.(k+1)

Vì k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp

=>k.(k+1) chia hết cho 2

=>4.k.(k+1) chia hết cho 4.2

=>4.k.(k+1) chia hết cho 8

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8(1)

Lại có: (p-1).(p+1)=p²-1

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3

=>p không chia hết cho 3

=>p² chia 3 dư 1

=>p²-1 chia hết cho 3

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) ta thấy:

(p-1).(p+1) chia hết cho 8 và 3

Mà (8,3)=1

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 8.3

=>(p-1).(p+1) chia hết cho 24

Vậy (p-1).(p+1) chia hết cho 24