Chứng tỏ rằng:
a/ \(\frac{1}{2}< \frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{80}< 1\)
b/ \(1< \frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}+\frac{3}{13}+\frac{3}{14}< 2\)
c/ A=\(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{100}}< 1\)
d/ \(B=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}< \frac{1}{2}\)
e/ \(\frac{2}{5}< \frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{80}< \frac{2}{3}\)
f/\(C=\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+\frac{7}{3^2\cdot4^2}+...+\frac{19}{9^2\cdot10^2}< 1\)
\(b)\) Đặt \(B=\frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}+\frac{3}{13}+\frac{3}{14}\) ta có :
\(B>\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}+\frac{3}{15}=\frac{3+3+3+3+3}{15}=\frac{3.5}{15}=\frac{15}{15}=1\)
\(\Rightarrow\)\(B>1\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(B< \frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3+3+3+3+3}{10}=\frac{3.5}{10}=\frac{15}{10}< \frac{20}{10}=2\)
\(\Rightarrow\)\(B< 2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(1< B< 2\) ( đpcm )
Vậy \(1< B< 2\)
Chúc bạn học tốt ~
\(a)\) Đặt \(A=\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+...+\frac{1}{80}\) ta có :
\(A>\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+...+\frac{1}{80}\)
Do từ \(41\) đến \(80\) có \(\left(80-41\right):1+1=40\) số nên có \(40\) phân số \(\frac{1}{80}\) suy ra :
\(A>40.\frac{1}{80}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(A>\frac{1}{2}\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(A< \frac{1}{41}+\frac{1}{41}+\frac{1}{41}+...+\frac{1}{41}\)
Do từ \(41\) đến \(80\) có \(\left(80-41\right):1+1=40\) số nên có \(40\) phân số \(\frac{1}{41}\) suy ra :
\(A< 40.\frac{1}{41}=\frac{40}{41}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A< 1\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\frac{1}{2}< A< 1\) ( đpcm )
Vậy \(\frac{1}{2}< A< 1\)
Chúc bạn học tốt ~
\(f)\) Ta có :
\(C=\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+...+\frac{19}{9^2.10^2}\)
\(C=\frac{4-1}{1^2.2^2}+\frac{9-4}{2^2.3^2}+\frac{16-9}{3^2.4^2}+...+\frac{100-81}{9^2.10^2}\)
\(C=\frac{2^2-1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2.4^2}+...+\frac{10^2-9^2}{9^2.10^2}\)
\(C=\frac{2^2}{1^2.2^2}-\frac{1^2}{1^2.2^2}+\frac{3^2}{2^2.3^2}-\frac{2^2}{2^2.3^2}+\frac{4^2}{3^2.4^2}-\frac{3^2}{3^2.4^2}+...+\frac{10^2}{9^2.10^2}-\frac{9^2}{9^2.10^2}\)
\(C=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}-\frac{1}{10^2}\)
\(C=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{10^2}\)
\(C=1-\frac{1}{100}\)
\(C=\frac{99}{100}\)
Vậy \(C=\frac{99}{100}\)
Chúc bạn học tốt ~