Question

chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n phân số sau đây là tối giản n+1/3.n+2

Answer 1

gọi d là ƯC(n+1; 3n+2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(n+1\right)⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(3n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3n+3-3n-2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n-3n\right)+\left(3-2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow0+1⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{-1;1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản

Answer 2

Gọi d = ƯCLN ( n + 1 ; 3n + 2 )

Ta có : n +  1 chia hết cho d            => 3( n + 1 ) chia hết cho d

           3n + 2 chia hết cho d

=> ( 3n + 3 - 3n - 2 ) chia hết cho d => 1 chia hết cho d

=> d thuộc { 1 ; - 1 }

=> n + 1 ; 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau

=> phân số \(\frac{n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản

Answer 3

Gọi d là ƯCLN(n + 1, 3n + 2), d ∈ N*

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(n+1\right)⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}3n+3⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(3n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n+1,3n+2\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{n+1}{3n+2}\) là phân số tối giản.