Question

Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p² - 1 chia hết cho 3

Answer 1

Vì p là số nguyên tố, p>3 nên p không chia hết cho 3

Vì p không chia hết cho 3 nên p có 1 trong 2 dạng: 3k+1, 3k+2(k thuộc N^*)

Xét hai trường hợp:

+)p=3k+1(k thuộc N^*)

Khi đó p²-1=(3k+1)²-1=9k²+6k+1-1=9k²+6k=3(3k²+2k)

Vì k thuộc N^* nên 3k²+2k thuộc N^*

Vì thế 3(3k²+2k) chia hết cho 3 nên p²-1 chi hết cho 3

+)p=3k+2(k thuộc N^*)

Khi đó p²-1=(3k+2)²-1=9k²+12k+4-1=9k²+12k+3=3(3k²+4k+1)

vì k thuộc N^* nên 3k²+4k+1 thuộc N^*

Vì thế 3(3k²+4k+1) chia hết cho 3 nên p²-1 chia hết cho 3

Vậy nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p²-1 chia hết cho 3

Answer 2

Giả sử $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$, vì vậy p là số lẻ. Do đó, ta có thể biểu diễn p dưới dạng $p=2k+1,$ với $k$ là một số nguyên không âm.

Thay $p$ vào $p^2-1$, ta có: $p^2$ $-$ $1$ $=$ ${(2k+1)}^2$$-$$1$$=$$4k^2+4k+1-1$$=$$4k(k+1)$

Ta nhận thấy rằng một trong hai số $k$ hoặc $k+1$ phải là số chẵn. Vì vậy, một trong hai số $k$ hoặc    $k+1$ chia hết cho $2$. Vì vậy, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $2.4=8.$

Ngoài ra, vì p là số nguyên tố lớn hơn $3$, nên p không chia hết cho $3$. Vì vậy, $k$ và $k+1$ không thể đều chia hết cho $3$. Do đó, $k$ hoặc $k+1$ phải chia hết cho $3$. Vì vậy, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $3$.

Tổng hợp lại, $p^2$$-$$1$ chia hết cho $8$ và $3$. Vì $8$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, nên $p^2$$-$$1$ chia hết cho $8.3=24.$