Question

Chứng tỏ rằng : 2+2^2+ 2^3+...+2^99+2^100 chia hết vcho 31

Answer 1

c1:ta có S=2+2^2+2^3+...+2^99+2^100 
=>nhóm 5 số đầu lấy 2 ra ngoài ta sẽ được2 nhân với 31 
tương tự với các số sau 
có số số hạng của S là 100 chia hết cho 5 nên ta sẽ được 20 cặp có nhân tử là 31 cuốicùng đặt 31 ra ngoài làm nhân tử chung thì được dpcm 
c2:S = 2 + 2^2+2^3+...+2^99+2^100 
Suy ra 2S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100 + 2^101 
2S - S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^100 + 2^101 - (2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^99 + 2^100) = 2^101 - 2 
S = 2^101 - 2 = 2 (2^100 - 1) 
2^5 = 32 đồng dư với 1 modun 31 
Suy ra (2^5)^20 đồng dư với 1 modun 31 
Hay 2^100 đồng dư với 1 modun 31 
Nên 2^100 - 1 chia hết cho 31 
Vậy S chia hết cho 31