Question

Chứng tỏ nếu P nguyên tố lớn hơn 3 thì (P-1)(P+1) chia hết cho 12

Answer 1

P là số nguyên tố lớn hơn 3.

=> P là số lẻ.

=>P-1 và P+1 là số chẵn.

=>(P-1)(P+1) là 2 số chẵn liên tiếp.

=>(P-1)(P+1) chia hết cho 4(1)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3,

=>P có hai dạng 3k+1,3k+2

Với P=3k+1=>P-1=3k+1-1=3k=>P-1 chia hết cho 3=>(P-1)(P+1) chia hết cho 3

Với P=3k+2=>P+1=3k+2+1=3(k+1)=>P-1 chia hết cho 3=>(P-1)(P+1) chia hết cho 3

=>(P-1)(P+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1) và (2) ta thấy:

(P-1)(P+1) chia hết cho 3 và 4.

Mà (3,4)=1

=>(P-1)(P+1) chia hết cho 12.

=>ĐPCM