Question

chứng minh

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

với x,y,z,a,b,c là các số dương

Answer 1

Đầu tiên ta sẽ chứng minh \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2b\left(a+b\right)+y^2a\left(a+b\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\left(LĐ\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)

Vậy BĐT (1) đã được chứng minh

Với 6 số x,y,z,a,b,c >0 ta sẽ áp dụng BĐT (1) hai lần:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

Bài làm:

Áp dụng Cauchy Schwars ta có:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Answer 3

Áp dụng BĐT Svac - xơ ta có :

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

Answer 4

Bài làm:

Ta có: Áp dụng BDT Cauchy dạng cộng mẫu cho 3 số ta đc:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

\("="\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)