Question

chứng minh:

1) m²+n²+2>=2m+2n với mọi m, n

2) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))>=4 (a>0,b>0)

Answer 1

a/ Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho các số m²,n²,1 không âm ta được:

m²+1>=2m(1)

n²+1>=2n (2)

Từ (1) và (2)=> m²+n²+2>= 2m+2n vs mọi m,n (đpcm)

b/ Ta có: (a-b)²>= 0

<=> a² +b²-2ab>=0

<=>a²+b²+2ab>=4ab (cộng 2 vế vs 2ab với a>0,b>0)

<=> (a+b)²>= 4ab

<=> a+b >= 4ab/(a+b) (chia 2 vế cho a+b với a>0.b>0) 

<=> (a+b)/ab>= 4/(a+b) (3)

Mà: 1/a+1/b=(a+b)/ab (4)

Từ (3) và (4)=> 1/a+1/b>=4/(a+b)

<=> (a+b)(1/a+1/b)>=4 (đpcm)

 

Answer 2

cộng 2 vế với 4 ab , nhầm ^^