Question

chứng minh với x thuộc Q thì giá trị của đa thức M =(x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+16 là bình phương của một số hữu tỉ

Answer 1

 \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)\)

Đặt \(x^2+10x+20=y\)ta được : 

      \(M=\left(y-4\right)\left(y+16\right)+16\)

 \(\Leftrightarrow M=y^2-16+16\)

 \(\Leftrightarrow M=y^2\)

Mà theo bài thì \(x\in Q\)nên \(y\in Q\)suy ra đpcm

Answer 2

xin lỗi nha ! Ở chỗ hàng thứ tư là \(M=\left(y-4\right)\left(y+4\right)+16\)mới đúng . Biết là viết sai nhưng vẫn chưa kịp sửa mong bạn thông cảm ...

Answer 3

Ta có: \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x+2\right)\left(x+8\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+24\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)\left(x^2+10x+16+8\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+16\right)^2+8\left(x^2+10+16\right)+16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(x^2+10x+20\right)^2\)

Mà \(x\in Q\Leftrightarrow\left(x^2+10x+20\right)\in Q\Leftrightarrow M=\left(\frac{m}{n}\right)^2\)

Vậy \(M=\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right)\left(x+8\right)+16\) là bình phương của 1 số hữu tỉ (Đpcm)