Question

chứng minh với n là nguyên thì n^3 + 5n chia hết cho 6

Answer 1

Thử n=1 ta có n^3+5n = 6

\(=>\) Đúng 
giả sử đúng với n =k 
ta nhập đúng với n= k+1 
(k+1)^3+5(k+1) = k^3 +5k + 3k^2 +3k +6 
vì k^3 +5k chia hết cho 6, và 6 chia hết cho 6 nên ta cần cm 3k^2 +3k chia hết cho 6 <=> k^2 +k chia hết cho 2 
mà k(k +1) chia hết cho 2vì nếu k lẻ thì k+1 chẳn => chia hết 
nế k chẳn thì đương nhiên chia hết 
vậy đúng n= k+ 1 

Answer 2

Ta có:

n³ + 5n = n³ - n + 6n

            = n.(n² - 1) + 6n

            = n.(n - 1).(n + 1) + 6n

Vì n.(n - 1).(n + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 6; 6n chia hết cho 6

=> n² + 5n chia hết cho 6 (đpcm)