Question

Chứng minh : Với mọi số tự nhiên n thì  a_n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Answer 1

giải : Ta có :
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

Answer 2

giải : Ta có :
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

Answer 3

a²= 2(2+1)(2+2)(2+3)+1

a²=2.3.4.5+1

a² = 121 = 11²

a = 11

Answer 4

ta có:

   a_n=n(n+1) (n+2) (n+3)+1

      =(n²+3n) (n²+3n+2)+1

     =(n²+3n)² +2(n²+3n)+1

    =(n²+3n+1)²

với n là số tự nhiên

    => n²+3n+1 cũng là số tự nhiên.

   theo định nghĩa thì =>a_n là số chính phương.

Answer 5

Ta có: A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=[n(n+3)].[(n+1)(n+2)]+1=(n²+3n)(n²+3n+2)+1

Đặt t=n²+3n ta có:
A=t(t+2)+1=t²+2t+1=(t+1)²

Vì \(n\in N\Rightarrow t\in N\)

Do đó A=(t+1)²  luôn là một số chính phương với mọi số nguyên dương n

Answer 6

Theo mình nghĩ làm thế này cũng được :

 Theo bài ra ta có :

\(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(a_n=n\left(n+3\right).\left(n+1\right)\left(n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+n+2n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)^2+2.\left(n^2+3n\right)+1\)

\(a_n=\left[\left(n^2+3n\right)^2+\left(n^2+3n\right)\right]+\left[\left(n^2+3n\right)+1\right]\)

\(a_n=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+1\right)+\left(n^2+3n+1\right)\)

\(a_n=\left(n^2+3n+1\right)\left(n^2+3n+1\right)\)

\(a_n=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vì \(n\)là số tự nhiên \(n^2+3n+1\)là số tự nhiên . Do đó , \(a_n\)là số chính phương 

Answer 7

Ta có : \(a_n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2.\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Do \(n\inℕ^∗\Rightarrow\left(n^2+3n+1\right)^2\) là 1 số chính phương

Nên : \(a_n\)là 1 số chính phương