Question

Chứng minh với mọi số nguyên m,n ta có:

a) \(mn\left(m^2-n^2\right)⋮3\)

b)\(n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)

c)\(n^2\left(n^2-12\right)⋮12\)

d)\(mn\left(m^4-n^4\right)⋮30\)

e) \(n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\)

g) \(n^4-4n^3-4n^2+16n⋮384\)( n chẵn và n >4 )

h)\(n^3+3n^2-n-3⋮48\)

k)\(n^{12}-n^8-n^4+1⋮512\)

l)\(n^8-n^6-n^4+n^2⋮1152\)

m) \(n^3-4n⋮48\)( n chẵn )

n) \(n^2-3n+5\)không chia hết cho 121

i ) \(n^6-n^4-n^2+1⋮128\)( n lẻ ) 

Answer 1

h. 

n3+ 3n2 -n - 3

= n( n2 -1) + 3( n2 - 1)

= ( n +3)( n2 - 1)

= ( n +3)( n -1)( n +1)

Do n là số nguyên lẻ. Đặt : 2k + 1 = n . Ta có :

( 2k+ 4)2k( 2k +2)

= 2( k + 2)2k . 2( k+ 1)

= 8k( k +1)( k +2)

Do : k ; k+1; k+2 là 3 STN liên tiếp

--> k( k +1).(k+ 2) chia hết cho 6

-->8k( k +1).(k+ 2) chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên lẻ

Answer 2

Bạn đánh chắc mỏi tay lắm nhỉ

Answer 3

a,n^4-4n³-4n²+16n=n(n³-4n²-4n+16) 
=n(n-4)(n²-4)=(n-4)(n-2)n(n+2) (1) 
Theo đề:n=2k(k thuộc Z+) thế vào (1) đc: 
n^4-4n³-4n²+16n 
=(2k-4)(2k-2)2k(2k+2) 
=16.(k-2)(k-1)k(k+1) (2) 
Vì (k-2)(k-1)k(k+1) là 4 số nguyên liên tiếp nên tồn tại: 
+2 số chẵn liên tiếp,1 số chia hết cho 2,số còn lại chia hết cho 4 nên (k-2)(k-1)k(k+1) chia hết cho 8 
+1 số là bội của 3 nên (k-2)(k-1)k(k+1) chia hết cho 3 
mà (8,3)=1=>(k-2)(k-1)k(k+1) chia hết cho 24(3) 
Từ (2),(3)=>n^4-4n³-4n²+16n chia hết cho 16.24=384

Answer 4

e) n⁴ + 6n³ + 11n² + 6n 

= n⁴ + 2n³ + 4n³ + 8n² + 3n² + 6n 

= (n⁴ + 2n³) + (4n³ + 8n²) + (3n² + 6n)

= n³(n + 2) + 4n²(n + 2) + 3n(n + 2)

= (n + 2)(n³ + 4n² + 3n)

= (n + 2)n(n² + 3n)

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Vì tích 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24

Nên n⁴+6n³+11n²+6n chia hết cho 24