Ta có : \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
Cách khác : Dùng HĐT quen thuộc :
\(a^2+1\ge2a\)
\(b^2+1\ge2b\)
\(a^2+b^2\ge2ab\)
Cộng các vế của BĐT, rồi chia 2 ta được BĐT cần chứng minh.