Question

chứng minh tổng của phân số tối giản có mẫu khác nhau không thể là số nguyên

Answer 1

Lời giải:
Gọi 2 phân số $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$ ($a,b,c,d\in\mathbb{N}^*$) là phân số tối giản có $b\neq d$

Vì 2 phân số tối giản nên $(a,b)=(c,d)=1$

Bây giờ phản chứng, giả sử tổng 2 phân số trên có thể là số nguyên 

$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
$\Rightarrow ad+bc\vdots bd$

$\Rightarrow ad+bc\vdots b$

$\Rightarrow ad\vdots b$

Mà $(a,b)=1$ neenn $d\vdots b(1)$

Tương tự: $ad+bc\vdots d$

$\Rightarrow bc\vdots d$

Mà $(c,d)=1$ nên $b\vdots d(2)$

 Từ $(1);(2)\Rightarrow b=d$ (trái giả thiết)

Vậy điều giả sử là sai. Ta có đpcm.