Question

chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng cho 1 là một số chính phương

Answer 1

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ Z).
Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n² + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)²
= (n² + 3n + 1)²
Vì n ∈ N nên n² + 3n + 1 ∈ N.
Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là số chính phương

Answer 2

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là \(n;n+1;n+2;n+3\left(n\in N\right)\)

Theo đề bài, ta có :

       \(n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\cdot\left(n+3\right)+1\)

\(=\left[n\cdot\left(n+3\right)\right]\cdot\left[\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left[n^2+3n\right]\cdot\left[n^2+3n+2\right]+1\)( * )

Đặt \(n^2+3n=t\)thì ( * ) \(=t\cdot\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng cho 1 là số chính phương 

Answer 3

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3

Ta có: 

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1

= [n(n + 3)] . [(n + 1)(n + 2)] + 1

= (n² + 3n) . [(n + 1).n + (n + 1).2] + 1

= (n² + 3n) . (n² + n + 2n + 2) + 1

= (n² + 3n) . [(n² + 3n) + 2] + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n).1 + 1²

= (n² + 3n + 1)²

=> n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.