Question

Chứng minh rằng:

\(S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 2\)

Answer 1

\(S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)

                                                                  \(=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

                                                                  \(=1+1-\frac{1}{50}\)                                     

                                                                  \(=2-\frac{1}{50}< 2\)                                          

                                                                                   

Answer 2

\(S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(\Rightarrow S< 1+\left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...\frac{1}{49\cdot50}\right)\)

\(S< 1+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)\)

\(S< 1+\left(1-\frac{1}{50}\right)\)

Mà \(1-\frac{1}{50}< 1\Rightarrow1+\left(1-\frac{1}{50}\right)< 2\)( ĐPCM )

Answer 3

Ta có :

\(S=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\)

\(\Rightarrow S< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{49.50}\)

\(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{50}\)

\(\Rightarrow S< 1< 2^{đpcm}\)