Áp dụng BĐT Cosy Schwarz : \(\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\frac{a_3^2}{b_3}+...+\frac{a_n^2}{b_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}.\)(*)
với \(b_1=a_1^2;b_2=a_2^2;b_3=a_3^2;...;b_n=a_n^2\)ta có:
\(\frac{a_1^2}{a^2_1}+\frac{a_2^2}{a^2_2}+\frac{a_3^2}{a_3^2}+...+\frac{a_n^2}{a^2_n}\ge\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2}{a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n}.\)
\(n\ge\frac{\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2}{a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n}\Leftrightarrow\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2\le n\cdot\left(a^2_1+a^2_2+a^2_3+...+a^2_n\right)\)
Để đạt được dấu "=" thì \(a_1=a_2=a_3=...=a_n\).
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được : \(\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2=\left(1.a_1+1.a_2+1.a_3+...1.a_n\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2+...+1^2\right)\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\right)=n.\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)^2\le n\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a_1}{1}=\frac{a_2}{1}=\frac{a_3}{1}=...=\frac{a_n}{1}\Leftrightarrow a_1=a_2=a_3=...=a_n\)
Do đó, kết hợp với giả thiết của đê bài, ta được điều phải chứng minh.
Toán lớp 8
Hoàng Lê Bảo Ngọc 7 phút trước (11:36)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được : (a1+a2+a3+...+an)2=(1.a1+1.a2+1.a3+...1.an)2≤(12+12+12+...+12)(a12+a22+a32+...+an2)=n.(a12+a22+a32+...+an2)
⇒(a1+a2+a3+...+an)2≤n(a12+a22+a32+...+an2)
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔a11 =a21 =a31 =...=an1 ⇔a1=a2=a3=...=an
Do đó, kết hợp với giả thiết của đê bài, ta được điều phải chứng minh.
