Question

Chứng minh rằng:Các đa thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến:

a)x²+x+1

b)4x²-2x+1

c)x⁴-3x²+9

d)x²+y²-2x-2y+2xy+1

g)x²+y²+2(x-2y)+6

Answer 1

a) \(x^2 +x +1 = x^2 +x +1/4 +3/4 = (x+1/2)^2 +3/4\)

các câu khác dùng phương pháp tương tự

Answer 2

a) x^2 + x +1 = x^2 + x + 1/4 + 3/4 = ( x+ 1/2)^2 + 3/4

Vì (x+1/2)^2 >= 0 => (x+1/2)^2 + 3/4>=3/4 > 0

b) 4x^2 - 2x + 1 = (2x)^2 - 2x + 1/4 + 3/4 = (2x +1/2)^2 + 3/4

Vì (2x +1/2)^2 >=0 => (2x +1/2)^2 + 3/4 >= 3/4 > 0

c) x^4 -3x^2 + 9 = x^4 - 3x^2 + 9/4 + 25/4 = ( x^2+ 3/2)^2 + 9/4

Vì ( x^2+ 3/2)^2 >= 0 => ( x^2+ 3/2)^2 + 9/4 >=9/4 >0

d) x^2 + y^2 -2x-2y + 2xy +1

= ( x^2 + 2xy + y^2) - 2( x+y) +1

= ( x+y)^2 -2(x+y) +1

= (x +y +1)^2 >=0

g) x^2+y^2+2(x-2y)+6

= (x^2 + 2x +1) + (y^2 -4y+4) +1

= ( x+1)^2 + (y-2)^2 +1

Vì (x+1)^2; (y-2)^2 >= 0 =>  ( x+1)^2 + (y-2)^2 +1>=1>0

Answer 3

a. x² + x + 1 = x² + x +\(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)= ( x +\(\frac{1}{2}\))² +\(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

=> Đpcm

b. 4x² - 2x + 1 = 4x² - 2x +\(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)= 4 ( x -\(\frac{1}{4}\))² +\(\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

=> Đpcm

c. x⁴ - 3x² + 9 = ( x² )² - 3x² + 3² = ( x² + 3x + 3 ) ( x² - 3x + 3 )

= [ ( x +\(\frac{3}{2}\))² +\(\frac{3}{4}\)] [ ( x -\(\frac{3}{2}\))² +\(\frac{3}{4}\)] > 0 với mọi x

=> Đpcm

d. x² + y² - 2x - 2y + 2xy + 1 = ( x² + 2xy + y² ) - ( 2x + 2y ) + 1

= ( x + y )² - 2 ( x + y ) + 1²

= ( x + y - 1 )²\(\ge0\forall x;y\)

=> Đpcm

g. x² + y² + 2 ( x - 2y ) + 6 = x² + y² + 2x - 4y + 6

= ( x² + 2x + 1 ) + ( y² - 4y + 4 ) + 1

= ( x + 1 )² + ( y - 2 )² + 1\(\ge1>0\forall x;y\)

=> Đpcm