\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ba số trên là ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6 ( Ví dụ : 1.2.3= 6 chia hết cho 6 )
\(\Rightarrow n^3-n⋮6\)
n^3 - n
= n( n^2 - 1 )
Xét 2 trường hợp :
1 . n là số chẵn
ð n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2
2 . n là số lẽ
=> n^2 – 1 là số chẵn
=> n( n^2 – 1 ) chia hết cho 2
Vậy n^3 – n chia hết cho 2
Có n^3 – n = n( n^2 – 1 ) = n( n + 1 )( n – 1 )
Vì n , n + 1 và n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3
=> n^3 – n chia hết cho 3
Vì n^3 – n cùng chia hết cho cả 3 và 2
=> n^3 – n chia hết cho 6
n/3 + n^2/2 + n^3/6
= 2n/6 + 3n^2/6 + n^3/6
= 2n + 3n^2 + n^3 / 6
= ( 2n + 2n^2 ) + ( n^2 + n^3 ) / 6 ( Tách 3n^2 = n^2 + 2n^2 )
= 2n( n + 1 ) + n^2( n + 1 ) / 6
= ( n + 1 )( 2n + n^2 ) / 6
= n( n + 1 )( n + 2 ) / 6
Vì n , n+1 và n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp
=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 3
Trong 3 số nguyên liên tiếp luôn tồn lại 1 số chẵn
=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2
Vì n( n + 1 )( n + 2 ) cùng chia hết cho 2 và 3
=> n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 6
=> n( n + 1 )( n + 2 ) = 6k ( k\(\in Z\))
Vậy n(n + 1 )( n + 2 )/6 = 6k/6 = k hay chúng luôn nguyên .