Question

Chứng minh rằng:

1) 2+2²+2³+...+2¹⁰⁰ chia hết cho 31.

2) 3+3²+3³+...+3^1998 chia hết cho 39.

Xin hãy giúp đỡ! 

Chân thành cảm ơn mọi người!

Mình sẽ tích nếu các bạn trả lời sớm vì mình thật sự rất gấp!

Answer 1

1) Đặt \(A=2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=2\left(1+2\right)+2^3\left(1+2\right)+...+2^{99}\left(1+2\right)\)

\(=2.3+2^3.3+...+2^{99}.3\)

Vì \(3⋮3\) nên \(2.3+2^3.3+...+2^{99}.3⋮3\)

hay \(A⋮3\)(đpcm)

2) Đặt \(B=3+3^2+3^3+...+3^{1998}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{1996}+3^{1997}+3^{1998}\right)\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+...+3^{1996}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=3.13+3^4.13+...+3^{1996}.13\)

\(=39+3^3.39+...+3^{1995}.39\)

Vì \(39⋮39\)nên \(39+3^3.39+...+3^{1995}.39⋮39\)

hay \(B⋮39\)(đpcm)

Answer 2

a) 2+2²+2³+...+2¹⁰⁰

=(2+2²+2³+2⁴+2⁵)+(2⁶+2⁷+2⁸+2⁹+2¹⁰)+.....+(2⁹⁶+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

=2(1+2+2²+2³+2⁴)+2⁶(1+2+2²+2³+2⁴)+....+2⁹⁶(1+2+2²+2³+2⁴)

=2(1+2+4+8+16)+2⁶(1+2+4+8+16)+....+2⁹⁶(1+2+4+8+16)

=2.31+2⁶.31+....+2⁹⁶.31

=31(2+2⁶+....+2⁹⁶)

=> đpcm

Answer 3

b) Bạn có thể chứng minh chia hết cho 3 và 13

Đặt B=3+3²+3³+....+3¹⁹⁹⁸

Vì các số hạng của B chia hết cho 3

=> B chia hết cho 3 (1)

B=3+3²+3³+....+3¹⁹⁹⁸

=(3+3²+3³)+(3⁴+3⁵+3⁶)+....+(3¹⁹⁹⁶+3¹⁹⁹⁷+3¹⁹⁹⁸)

=3(1+3+3²)+3⁴(1+3+3²)+....+3¹⁹⁹⁶(1+3+3²)

=3.13+3⁴.13+....+3¹⁹⁹⁶.13

=13(3+3⁴+....+3¹⁹⁹⁶) (2)

Mà (3;13)=1 nên (1)(2) => B chia hết cho 3.13=39