BĐT cần chứng minh tương đương:
\(2x+\sqrt{12-2x^2}\le6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{12-2x^2}\le6-2x\)
\(\Rightarrow12-2x^2\le\left(6-2x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow12-2x^2\le36-24x+4x^2\)
\(\Leftrightarrow6x^2-24x+24\ge0\)
\(\Leftrightarrow6\left(x-2\right)^2\ge0\left(\forall x\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x-2=0\Rightarrow x=2\)
Cho \(x\)thỏa mãn điều kiện\(\left\{{}\begin{matrix}5-x^2\ge0\\5-\dfrac{1}{x^2}\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng
\(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}\le6\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho \(y\)là các số thực thỏa mãn điều kiện \(1-2y-y^2\ge0\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{1-2y-y^2}\le y+3\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+2y\le3z\) . Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{3}{z}\).
1) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c\) và với mọi \(\alpha,\beta,\gamma>0\) luôn có
\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\).
2) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c>0\)luôn có
\(\frac{a+1}{b+2c+3}+\frac{b+1}{c+2a+3}+\frac{c+1}{a+2b+3}\ge1\).
Cho \(x,y\) là hai số dương có tổng không lớn hơn 2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}\)
Cho \(x,y\) là hai số dương có tổng không lớn hơn 2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}\).
Cho \(a,b,c\)là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\).
