Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ,ta có :

A=2 * n + 111...1 chia hết cho 3

                1 chữ số n

 

Answer 1

Sửa đề: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; ta có :
A = 2 * n + 11111....1 chia hết cho 3

                 ( n chữ số 1 )

             Giải:

Nếu n chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của 11111...1 ( n chữ số 1 ) chia hết cho 3 và 2 * n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2 * n chia 3 dư 2 ( (1 + 1) mod 3 ), mà tổng các chữ số của 11111...1 ( n chữ số 1 ) khi đó dư 1 khiến A chia hết cho 3 ( (2 + 1) mod 3 )

Nếu n chia 3 dư 2 thì 2 * n lại dư 1 ( (2 + 2) mod 3 ), mà tổng các chữ số của 11111...1 ( n chữ số 1 ) lại dư 1 khiến a chia hết cho 3 ( (1 + 2) mod 3 )

Vậy bất kể n là số tự nhiên nào, thì A luôn chia hết cho 3 (đpcm)

Answer 2

+ Với n=1 thì A=2x1+1=3 chia hết cho 3

+ Với n=2 thì A=2x2+11=15 chia hết cho 3

+ Với n=3 thì A=2x3+111=117 chia hết cho 3

+ Với n>3 thì

# Nếu n chia hết cho 3 thì 2n chia hết cho 3 và tổng các chữ số của 111..11 là n cũng chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

# Nếu n chia 3 dư 1 thì n-1 chia hết cho 3 => 2x(n-1)=2xn-2 chia hết cho 3

=> A=2xn-2+11111....11+2 (n chữ số 1) khi đó 111...11+2 = 1111..13 (n-1 chữ số 1) => tổng các chữ số của số 111...13 là

(n-1)x1+3=n+2 mà n chia 3 dư 1 nên n+2 chia hết cho 3 => 1111..13 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

# Nếu n chia 3 dư 2 thì n-2 chia hết cho 3 => 2x(n-2)=2xn-4 chia hết cho 3

=> A=2xn-4+11111..11+4 (n chữ số 1) khi đó 1111..11+4=1111..15 (n-1 chữ số 1) => tổng các chữ số của số 111..15 là

(n-1)x1+5=n+4 do n chia 3 dư 2 nên n+4 chia hết cho 3 => 1111..15 chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3

Vậy Với mọi số TN n ta đều có 2xn+1111..111 (n chữ số 1) đều chia hết cho 3