Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y⁴ là một SCP

Giúp tớ với cần gấp lắm :<

Answer 1

A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y⁴

= [ ( x + y )( x + 4y ) ][ ( x + 2y )( x + 3y ) ] + y⁴

= ( x² + 5xy + 4y² )( x² + 5xy + 6y² ) + y⁴ (1)

Đặt t = x² + 5xy + 5y²

(1) <=> ( t - y² )( t + y² ) + y⁴

       = t² - y⁴ + y⁴

       = t² = ( x² + 5xy + 5y² )²

Vì x, y nguyên => x² nguyên ; 5xy nguyên ; 5y² nguyên

=> x² + 5xy + 5y² nguyên

=> ( x² + 5xy + 5y² )² là một số chính phương

=> đpcm

Answer 2

A = ( x + y )( x + 2y )( x + 3y )( x + 4y ) + y⁴ 

=> A = ( x² + 5xy + 4y² ) ( x² + 5xy + 6y² ) + y⁴

Đặt a = x² + 5xy + 5y² , pt trở thành :

A = ( a - y² ) ( a + y² ) + y⁴

=> A = t² - y⁴ + y⁴ = t² = ( x² + 5xy + 5y² )² là SCP

Vậy A là SCP

Answer 3

Ta có: \(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4\)

\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(A=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)

\(A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)

\(A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là SCP

=> đpcm

Answer 4

SAO MÀ KHÓ QUÁ VẬY