Question

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có 

a) \(n^3+3n^2+2n\) chia hết cho 6

b) \(\left(n^2+n-1\right)^2-1\)chia hết cho 24

Answer 1

Ta có \(n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2)\)  là tích ba số nguyên liên tiếp. Trong hai số liên tiếp luôn có một chia hết cho 2, trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 6.

Ta có \((n^2+n-1)^2-1=(n^2+n-2)(n^2+n)=(n-1)(n+2)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)\)  là tích bốn số nguyên liên tiếp.

Trong ba số liên tiếp luôn có một chia hết cho 3. Vậy tích chia hết cho 3. Mặt khác trong bốn số liên tiếp phải có hai số chẵn liên tiếp. Hai số chẵn liên tiếp phải có một số chia hết cho 4. Vậy tích sẽ chia hết cho 8. Từ hai điều đó suy ra tích chia hết 3x8=24.